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GUÍA 4 GRADO NOVENO MATEMÁTICAS

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Se llama Función cuadrática a la función matemática que se puede expresar como una ecuación que tiene la siguiente forma: f (x) =  ax²  +bx +c   al graficarla nos da una curva que denominamos Parábola.

En este caso, a, b y c son los términos de la ecuación: números reales, con a siempre con valor diferente de 0. El término ax²  es el término cuadrático, mientras que bx es el término lineal y c, el término independiente.

Ejemplos :

F(x) = 2x² +5x +1  en este caso a =2,  b=5, c=1

F(x) = 3x² +2x       en este caso   a =3, b=2, c=0 pues no  existe tercer término.

F(x) = 5x² -3          en este caso a = 5, b=0 pues no existe segundo término, c= -3.

F(x) = x²                en este caso a = 1 y b y c no existen entonces valen cero.

Cuando están presentes todos los términos, se habla de una ecuación cuadrática completa. En cambio, si falta el término lineal o el término independiente, se trata de una ecuación cuadrática incompleta.

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. La orientación de la parábola, el vértice, el eje de simetría, el punto de corte con el eje de las ordenadas o eje Y  y el punto de corte con el eje de las abscisas o eje X son características que varían de acuerdo a los valores de la ecuación cuadrática en cuestión.

Además de todo lo expuesto, tenemos que señalar que esa parábola podrá ser de dos tipos: parábola convexa o parábola cóncava. La primera es la que se identifica porque sus brazos o ramas están orientados hacia abajo  y el valor de a es negativo en ellas, y la segunda se caracteriza porque esos brazos o ramas se hallan orientados hacia arriba y el valor de a es positivo en ellas.

    CÓNCAVA O  CÓNCAVA HACIA ARRIBA                                                                                                                                                                                   CONVEXA O CÓNCAVA HACIA ABAJO

OTRO EJEMPLO DE PARÁBOLA

En este sentido, hay que subrayar que la parábola será cóncava cuando a > 0 (positivo). Por el contrario, será convexa cuando a < 0 (negativo). De la misma manera, es interesante saber que las soluciones o raíces de la función cuadrática son fundamentales porque dan a conocer los puntos de intersección de la citada parábola con respecto al eje de abscisas. Cabe destacar que las funciones cuadráticas aparecen en la geometría y en la cinemática en física , como movimiento parabólico, entre otros contextos, expresadas mediante distintas ecuaciones.

Por ahora nos enfocaremos en graficar las parábolas. Ello lo alcanzamos a desarrollar en clase para algunas funciones cuadráticas sencillas como:

 F(x) = x²   para ello reemplazabamos  x= 0 y dos valores  a la derecha con dós valores a la izquierda así:

Si x=0   F(0) = 0² = 0  primera pareja a graficar (0,0)

Si x=1   F(1) = 1² = 1 segunda pareja a graficar (1,1)

Si x= 2   F(2) = 2² =4 tercera pareja a graficar (2,4)

Si x=-1   F(-1) = (-1)² = 1 cuarta pareja a graficar (-1,1)

Si x=-2  F(-2) = (-2)²  = 4 quinta pareja a graficar (-2 ,4)

Y así podemos obtener muchos más puntos para extender la gráfica.

La dificultad se presenta en casos como el del ejemplo graficado F(x) = x²  - 4x + 3 en este caso el estudiante puede preguntarse si también comienza a buscar parejas con x= 0 y la respuesta es que no es lo más aconsejable pues no sabemos exactamente dónde está el punto más bajo de la parábola o vértice.  En estos casos el vértice lo hallamos con la fórmula        –b/2a luego para este ejemplo donde a=1 , b=-4, c= 3  queda el vértice v= - -4 /2.1  = 4 /2 =2     el 4 queda positivo  por el doble menos, así comienzo reemplazando en la función el número 2, con dos valores a la derecha de este 2 es decir el 3 y el 4, y dos valores a la izquierda de él que serían el 1 y el 0, sería así: 

F(2) = 2² -4.2 +3  = 4- 8 +3 = -1 primera pareja a graficar ( 2, -1)

F(3) = 3² -4.3 +3 = 9 – 12 +3 = 0 segunda pareja a graficar ( 3,0)

F(1) = 1² -4.1 +3 = 1 -4 +3 =0 tercera pareja a graficar (1,0)

F(4) = 4² -4.4 +3 = 16- 16 +3 = 3 cuarta pareja a graficar ( 4,3)

F(0) = 0² -4.0 +3 = 0 -0 +3 = 3  quinta pareja a graficar   (0,3)

Y al ubicarlos queda la gráfica del ejemplo visto.

Actividad : 

1. Para no olvidar lo visto sobre la recta, graficar una recta con pendiente m= -2 y punto de corte con eje Y (que es el mismo valor de b) = 3

2. Graficar las siguientes parábolas :

a.       F(x) = x² +1

b.      F(x) = -x² -1

c.       F(x) = x² +6x +1

d.      F(x) = x² -6x

Para tener más claridad sobre como reemplazar valores a la hora de graficar pueden ver el siguiente video:

La actividad se envía al correo jhmb4207@gmail.com