TERCERA GUÍA DE MATEMÁTICAS GRADO NOVENO TERCER PERÍODO

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2X2 DOS ECUACIONES-DOS INCÓGNITAS

Cuando tenemos la ecuación lineal   2.X +1 = 7  el solucionarla implicará hallar el valor de X, un valor de X  que al multiplicarlo por 2 y sumarle 1 nos de 7, en este caso es sencillo deducir que X debe valer 3 pues 2.3 +1 = 6 +1 =7 , sin embargo en una ecuación como X + Y = 12 tenemos dos incógnitas pero sólo una ecuación, vemos entonces que hay infinitas soluciones 7 + 5   o   8 +4  o   7,1 + 4,9 etc,  pues cuando hay más incógnitas que ecuaciones se presenta esta situación, luego dos incógnitas requieren dos ecuaciones, por eso los sistemas de ecuaciones dos por dos requieren dos ecuaciones con dos incógnitas. por ejemplo:

2.X  + Y  = 9

5.X  -  Y = 19

Nuestra labor en ésta guía será aprender a solucionar estos sistemas.  Cada ecuación representa una recta en el plano y dónde se corten será la solución del sistema,  al solucionarlas graficando aplicamos un método que se llama método gráfico.

Sin embargo por su facilidad utilizaremos el método de Reducción, también llamado de Eliminación o de suma y resta para solucionar estos sistemas.

Tomemos el  ejemplo dado y solucionemoslo por este método :

2.X  + Y  = 9

5.X  -  Y = 19

El método se basa en sumar las dos ecuaciones para que se cancele  una de las incógnitas y pueda despejarse la otra, en el caso de nuestro ejemplo está muy sencillo pues vemos que al sumar las ecuaciones,  Y y -Y se cancelan al ser de signos opuestos , así:

2.X  + Y  = 9

5.X  -  Y = 19

7X          = 28

Despejando  X paso el 7 al otro lado de la ecuación a dividir y queda :

  X  =  28/7

  X =  4

Sabiendo que X vale 4 lo reemplazo en cualquiera de las dos ecuaciones y hallo Y , así :

Tomemos la primera ecuación :

2.X  + Y  = 9   Si X vale 4 entonces lo reemplazo así :  2.4 + Y = 9 Entonces 8 + Y =9

para despejar Y el 8 que está positivo en el lado izquierdo de la ecuación pasa al lado derecho de la ecuación con la operación inversa a la suma o sea la resta así :   Y  =  9 -8  luego Y = 1

Y con esto se solucionó el  sistema pues se averiguaron los valores de X y Y que cumplen las condiciones, ustedes pueden reemplazarlos y verificar como prueba que se hizo bien.

Sin embargo no todos los ejercicios son tan sencillos, es decir no en todos viene lista una de las variables para cancelarse al sumarlas, en estos casos, se decide que variable se va a cancelar al sumar y luego multiplicamos la ecuación de arriba por el número que acompaña a la variable abajo y la ecuación de abajo por el número que acompaña a la variable arriba, si están con el mismo signo, entonces uno de los números va con signo menos, ello con el fin de que queden con signo opuesto y se cancelen al sumarlas, ejemplo :

3.X  + 2.Y = 7

4.X -  3.Y  = -2

 si en este caso decido cancelar las Y entonces multiplico la ecuación de arriba por 3 y la ecuación de abajo por 2, no es necesario que ninguno de los números sea negativo, pues las Y ya vienen con signos opuestos en las ecuaciones, así :

(3.X  + 2.Y = 7) . 3 = 9.X  + 6Y = 21                   Al sumar las ecuaciones :  9.X  + 6Y = 21   

(4.X -  3.Y  = -2). 2 = 8.X  - 6Y = -4                                                                      8.X  - 6Y = -4  

                                                                                                                                  17X        = 17

                                                                                   Paso a dividir  el 17         X  =  17 /17

                                                                                                                               X = 1

Conociendo el valor de X lo reemplazo en cualquiera de las dos ecuaciones que me dieron originalmente para hallar Y , así :

3.1  + 2.Y = 7  entonces 3 + 2.Y = 7 de donde el 3 que al no tener signo se asume sumando pasa a restar:

2.Y = 7 - 3  entonces  2.Y = 4 luego Y = 4/2 de dónde Y = 2.

Con ello queda resuelto el ejercicio pues averigüé que para que las ecuaciones se cumplan  X debe valer 1 y Y debe valer 2, lo cual puedo verificarlo al reemplazar en las ecuaciones y probar que quedaron bien.

 En el siguiente video pueden observar un ejemplo sencillo resuelto por este método para mayor claridad :

En este otro video vemos un ejemplo un poco mas complejo, también resuelto por el método de Reducción :

                    

Ejercicios : Solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones dos por dos por el método de reducción :

1).   X +Y =8

       X - Y =2

2).  X - Y = -6

      X + Y = 8

3).  2.X + 4.Y = 10

       X   + 3.Y = 7

4).   2.X + 2.Y = 4

       3X  + 4.Y = 0

5).   4.X + 3.Y = 10

       5X   - 6.Y = -7

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