GUÍA PARA PREPARAR EVALUACIÓN DE NIVELACIÓN TERCER PERÍODO MATEMAMATICAS GRADO OCTAVO

 SEGUNDA GUÍA DE MATEMÁTICAS GRADO NOVENO CUARTO PERÍODO

ECUACIÓN CUADRÁTICA

 Cuando analizamos la función cuadrática, aprendimos a graficarla, observamos que tiene forma de parábola con un punto central llamado vértice, que puede ser el más bajo o el más alto de la curva, según como abra la parábola. En la práctica se ha encontrado que el conocer los valores dónde la función se hace cero es importante en aplicaciones para la solución de problemas, entonces ya no nos interesa igualar la cuadrática a Y sino a cero, gráficamente significa que nos interesa sólo averiguar los puntos de corte con el eje X de la curva, estos puntos pueden ser ninguno, caso en el cual nuestra cuadrática no tendrá solución:

Uno, caso en el que nuestra cuadrática sólo tendrá una solución , pues sólo corta el eje X en un punto:

Dos, caso en el que nuestra cuadrática tendrá dos soluciones, pues corta el eje X en dos puntos :

La solución de una ecuación cuadrática que sabemos queda de la forma : ax²+ bx +c =0  (con a  diferente de de 0, ya que si a es igual a cero se perdería el término que está al cuadrado y ya no sería una ecuación cuadrática sino una lineal que ya hemos graficado como líneas rectas) está dada por la siguiente fórmula que siempre aplicaremos para hallar las soluciones :

observemos algunos ejemplos : 

Ejemplo 1: Resuelve 5x² + 6x + 1 = 0

Los coeficientes son:a = 5, b = 6, c = 1

Fórmula cuadrática:x = −b ± √(b² − 4ac)2a

Pon los valores de a, b y c.x = −6 ± √(6² − 4×5×1)2×5

Resuelve:x = −6 ± √(36 − 20)10

 x = −6 ± √(16)10

 x =−6 ± 410hay dos solucionesUna sumando 4 yla otra restando 4

 X1 = −0,2    X2 = −1

 

Respuesta: X1 = −0,2 o X2 = −1

 

Las podemos ver en esta gráfica

Comprobación -0,2:		5×(−0,2)2 + 6×(−0,2) + 1 = 5×(0,04) + 6×(−0,2) + 1 = 0,2 − 1,2 + 1 = 0
Comprobación -1:		5×(−1)2 + 6×(−1) + 1 = 5×(1) + 6×(−1) + 1 = 5 − 6 + 1 = 0

Ejemplo 2 :Resolvamos la ecuación 3x² - 5x + 2 = 0

1. Los coeficientes son: a = 3, b = -5, c = 2.
2. Los sustituimos en la fórmula general:

Las respuestas son x₁ = 1 y x₂ = 2/3.

Hacemos la comprobación de la siguiente forma:

Como vemos, x₁ = 1 satisface la ecuación.

De igual forma, x₂ = 2/3 es otra de las soluciones correctas.

Ejemplo 3 :Resolvamos la ecuación 8x + 5 = 36x²

1. Los coeficientes son a = 36, b = -8, c = -5. Esto porque tenemos que arreglar la ecuación como un trinomio perfecto, y queda de la siguiente forma: 36x² - 8x - 5 = 0
2. Sustituimos los coeficientes en la forma general:

Las respuestas son x₁ = 1/2 y x₂ = -5/18.

Si hacemos la comprobación, obtenemos:

Ejemplo 4:  Solucionar la ecuación cuadrática  -3x² +4x =0   a=-3 ;  b=4  ; c=0 

Lo cuál nos arroja dos soluciones una sumando la raíz de 16 que es 4 y la otra restando el 4:

 X1 = 0  y X2= -8/-6 = 4/3

Los  siguientes  videos nos ayudan a aclarar más, la solución de ecuaciones cuadráticas utilizando formula :

Algunas ecuaciones cuadráticas también se pueden solucionar utilizando la factorización que vimos el año pasado, el siguiente video nos muestra esto :

Cuando la ecuación cuadrática es corta, y el término b vale cero, la solución tambien es sencilla.Por ejemplo ; Solucionar la siguiente ecuación cuadrática :

X² -25 =0  entonces despejamos X² así :

 X² = 25 y me pregunto por los números que elevados al cuadrado dan 25 ellos son 5 y -5 y ahí están las dos soluciones, obviamente, si utilizo la formula de la cuadrática para resolver la ecuación, también llegaré a las mismas respuestas. 

Ejercicios: 

Solucionar las siguientes ecuaciones cuadráticas : 

1.  X² -5X + 6 = 0

2. 2X² -7X + 3 = 0

3. X² -3 6 = 0

4. X²  + 36 = 0

5. X² -10X + 25 = 0

6. X² -2X = 0

7. X²  = 64

8. 4X² -6X  = -2

9. X² +4X  = 0

10. 2X²  = -5X -2

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